‡ Die Atmosphäre besteht zu etwa 80 Massen-% aus Stickstoff und 20 Massen-% aus Sauerstoff. In welcher Höhe über der Erdoberfläche würden sich die Anteile auf 90% Stickstoff und 10% Sauerstoff verschieben? Nehmen Sie an, dass die Temperatur konstant bei 25 °C liegt. Wie groß ist der Atmosphärendruck in dieser Höhe?
Mathematischer Exkurs 1: Differenziation und Integration
Die Veränderungen von Funktionen – die Steigungen ihrer Kurven – lassen sich am einfachsten mithilfe der Differenzialrechnung diskutieren. Die Steigung einer Kurve (ebenso wie die Steigung eines Berges) erhalten wir, indem wir den Anstieg innerhalb eines bestimmten Intervalls durch die Breite des Intervalls teilen (Abb. ME1-1). Da die Steigung sich aber von Punkt zu Punkt verändert, müssen wir das Intervall dabei so klein wie möglich machen, am besten unendlich klein – daher der Name Infinitesimalrechnung. Die Werte einer Funktion f an den Punkten x und x+ δx seien f(x)bzw. f(x + δx). Dann ist die Steigung von f am Punkt x gleich der Höhendifferenz (Differenz der Funktionswerte) δ f dividiert durch die horizontale Entfernung (Differenz der Argumente) δ x,
(ME1-1)
Abb. ME1.1 Die Ableitung d f(x)/dx ist die Steigung der Funktion f( x)amPunkt x. Sie wird berechnet, indem man Näherungen [f (x + δx) – f (x)]/δx berechnet und δx gegen null gehen lässt (durch die kleiner werdenden Abstände der vertikalen Linien vom Punkt x angedeutet).
Die Steigung genau am Punkt x erhalten wir, indem wir δ x gegen null gehen lassen; wir schreiben dafür limδx→0.In diesem Grenzfall schreiben wir statt δ d:
(ME1-2)
Um die Steigung einer beliebigen Funktion berechnen zu können, müssen wir einen Weg finden, den Ausdruck auf der rechten Seite zu bestimmen. Diesen Prozess nennen wir Differenziation, und der Ausdruck d f /dx heißt Ableitung der Funktion f nach der Variable x. Die meisten der in der Chemie vorkommenden Funktionen können mithilfe der folgenden Regeln differenziert werden (im Folgenden wird für die Ableitung d f/dx kurz d f geschrieben):
1 Assoziativität: Für zwei Funktionen f und g gilt[ME1-3]
2 Produktregel: Für zwei Funktionen f und g gilt[ME1-4]
3 Quotientenregel: Für zwei Funktionen f und g gilt[ME1-5]
4 Kettenregel: Für eine Funktionen f (g) mit g = g(t) gilt[ME1-6]
Die Fläche unter der Kurve einer beliebigen Funktion kann durch Integration bestimmt werden. So wird die Fläche unter der Kurve in Abb. ME1-2 bestimmt, indem der Wert der Funktion an einem bestimmten Punkt mit der Breite δx eines kleinen Bereichs multipliziertwird und anschließend über alle derartigen Produkte summiert wird:
Abb. ME1.2 Die schattierte Fläche ist gleich dem bestimmten Integral über f (x)von a bis b.
Wenn wir das Intervall δx wieder unendlich klein wählen und dafür dx schreiben und über die unendlich vielen Intervalle dx summieren, so schreiben wir dafür
[ME1-7]
Das langgestreckte S-förmige Symbol auf der rechten Seite heißt Integral der Funktion f. Wennesalleinsteht(ohnedie Angabe von Integrationsgrenzen), bezeichnet man es als das unbestimmte Integral der Funktion. Mit Integrationsgrenzen (wie in Gl. [ME1-7]) spricht man von einem bestimmten Integral. Das bestimmte Integral ist gleich dem Wert des unbestimmten Integrals am oberen Endpunkt der Integration (b) minus dem Wert des unbestimmten Integrals am unteren Endpunkt der Integration (a). Der Mittelwert der Funktion
[ME1-8]
Das Mittelwerttheorem besagt, dass eine stetige Funktion mindestens an einem Punkt in einem gegebenen Intervall ihren Mittelwert annimmt.
Die Integration ist die Umkehrung der Differenziation. Mit anderen Worten, wenn wir eine Funktion integrieren und anschließend das Ergebnis differenzieren (ableiten), dann erhalten wir die ursprüngliche Funktion zurück. Einige wichtige Integrale sind auf der vorderen inneren Umschlagseite des Buches angegeben; viele weiter Standardintegrale sind tabelliert oder lassen sich mithilfe von Mathematik-Software berechnen. Zwei Verfahren der Integration sind trotz aller Automatisierung hilfreich:
1 Partielle Integration: Für zwei Funktionen f und g gilt[ME1-9]
2 Partialbruchzerlegung: Um ein Integral der Formmit zwei Konstanten a und b zu lösen, schreiben wirund integrieren den Ausdruckaufder rechten Seite. Damit erhalten wir[ME1-10]
Notes
1 1) Wir verwenden in diesem Buch den Ausdruck quadratisch gemittelt für den englischen Ausdruck root mean square, Wurzel aus dem quadratischen Mittel. Es ist zu beachten, dass das Adverb quadratisch sich auf den Vorgang der Mittelung bezieht: Gemittelt wird über das Quadrat der entsprechenden Größe, anschließend wird die Wurzel gezogen. Das Resultat ist im Allgemeinen nicht gleich dem Quadrat des Mittelwertes: 〈x〉2 ≠ 〈x2〉.
2 2) Der Name stammt aus dem Lateinischen: vires, Kräfte. Gelegentlich werden die Koeffizienten auch mit B2, B3 usw. bezeichnet.
3 3) Die mit dem Symbol ‡ gekennzeichneten Aufgaben wurden von Charles Trapp, Carmen Giunta und Marshall Cady beigesteuert.
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Der Erste Hauptsatz der Thermodynamik
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