B, entonces es una relación de A en B y por tal motivo tendrá relación inversa de B en A. A continuación presentaremos el conocido resultado que entrega la condición necesaria y suficiente para que la función f de A en B no sólo tenga relación inversa de B en A sino que función inversa de B en A, o sea, que f−1 : B → A será función (conocida como función inversa de f y simbolizada por f−1).
Teorema 3.2.1 Sea f : A → B función, entonces:
Problema 3.2.1 Sea
Demostrar que ella es biyectiva y encontrar la respectiva función inversa f−1 .
Solución:
Primero estableceremos que f es uno a uno. Pues bien, sean
de donde:
o sea:
luego, f es inyectiva.
Ahora demostraremos que f es epiyectiva. Para ello sea
de donde:
y, por lo tanto:
y, como:
o sea:
luego f es sobre.
Tenemos que f es biyectiva y de aquí su función inversa es:
Nota:
Tomando en consideración el resultado presentado en el teorema [3.2.1] (y restringiendo los dominios de las respectivas funciones trigonométricas o circulares) conseguiremos como aplicaciones a nuestro estudio los teoremas que presentaremos a continuación.
Teorema 3.2.2 La función cos : [0, π] → [−1, 1] es biyectiva, entonces su función inversa es:
Los gráficos respectivos de estas funciones, inversa una de otra, se presentan en la figura 3.7.
Fig. 3.7
Teorema 3.2.3 La función sen :
Los gráficos respectivos de estas funciones, inversa una de otra, se presentan en la figura 3.8.
Fig. 3.8
Teorema 3.2.4 La función
Definición 3.2.1
Fig. 3.9
Nota:
Para encontrar concretamente los valores de Arccos x = INVCOS x (y por analogía las restantes), acudimos a la calculadora colocando primeramente x en la pantalla y, a continuación, apretando las teclas INV y COS.
Teorema 3.2.5 La función cot : (0, π) → R es biyectiva, entonces su función inversa es Arccot = cot−1 : R → (0, π)
Fig. 3.10
Teorema 3.2.6 La función
Fig. 3.11
Teorema 3.2.7 La función
