Abb. 2.8 (a) Ein einzelner Energietopf mit endlicher Barrierenhöhe und einem abfallenden Energieboden mit den beiden niedrigsten Energiezuständen und Wellenfunktionen. (b) Die Übergitterstruktur in einem Quantenkaskadenlaser, die durch aufeinanderfolgende potenzielle TiK-Energietöpfe modelliert wurde.
Während des Betriebs des QCL werden Elektronen über einen elektrischen Strom in einen durch das *-Symbol in Abb. 2.8b gekennzeichneten potenziellen Energiezustand injiziert. Sie durchlaufen einen Übergang, wie durch den Abwärtspfeil ganz links angegeben, wobei ein (Infrarot-)Photon emittiert wird. Das Elektron im Grundzustand kann dann durch die Barriere mit endlicher Höhe tunneln, in den nächsten Quantentopf gelangen und einen weiteren Übergang eingehen. Die Emissions- und Tunnelprozesse werden so oft wiederholt, wie sich Quantentöpfe im Übergitter befinden. Der Begriff Kaskade in QCL beruht auf der Tatsache, dass ein Elektron in der Übergitterstruktur viele aufeinanderfolgende Emissionsprozesse durchlaufen kann. Durch Platzieren des Übergitters in einem optischen Resonator kann eine stimulierte Emission (siehe Kap. 3) von den angeregten Zuständen in den Grundzustand in jedem Topf erreicht werden.
Aufgaben
Die folgenden trigonometrischen Integralbeziehungen werden für diese Aufgaben benötigt:
Aufgabe 2.1
Zeigen Sie, dass die Funktion f(x) = cos(bx) eine Eigenfunktion des Operators d2/ dx2 ist. Was ist der Eigenwert?
Aufgabe 2.2
Zeigen Sie, dass die Funktion e−x2/2 eine Eigenfunktion des Operators (d2/dx2) — x2 ist. Was ist der Eigenwert?
Aufgabe 2.3
Zeigen Sie, dass die Funktion e−x2/2 eine Eigenfunktion des Operators d2/dx2 ist. Was ist der Eigenwert?
Aufgabe 2.4
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit W, ein TiK im Grundzustand im mittleren Drittel des Kastens zu finden? Was ist W für den gleichen Bereich für ein klassisches Teilchen?
Aufgabe 2.5
Bestimmen Sie die Erwartungswerte von x und px für ein TiK im Grundzustand.
Aufgabe 2.6
Was ist der Erwartungswert des kinetischen Energieoperators T für den Grundzustand eines TiK?
Aufgabe 2.7
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit W, ein TiK im ersten angeregten Zustand in der linken Hälfte des Kastens mit der Länge L zu finden?
Aufgabe 2.8
Für ein Elektron in einem eindimensionalen Kasten mit einer Länge von 0,1 nm:
1 a) Berechnen Sie die Energie des ersten, zweiten und dritten Energieniveaus für dieses Elektron.
2 b) Berechnen Sie die Wellenlänge eines Photons, die erforderlich ist, um das Elektron vom zweiten zum dritten Energieniveau zu befördern.
Aufgabe 2.9
Beschreiben Sie, wie das TiK-Modell zu quantisierten Energieniveaus führt.
Aufgabe 2.10
Was ist quantenmechanisches Tunneln?
Aufgabe 2.11
Berechnen Sie den Kommutator [Tx, px], wobei Tx der kinetische Energieoperator in x-Richtung und px der Impulsoperator in x-Richtung ist. Können die kinetische Energie und der Impuls gleichzeitig in einem quantenmechanischen System bestimmt werden?
Aufgabe 2.12
Zeigen Sie durch analytische Integration, dass ψ1(x) und ψ2(x) für das eindimensionale TiK orthogonal sind.
Aufgabe 2.13
Zeichnen Sie mit einem Grafikprogramm wie EXCEL die erste und die zweite Wellenfunktion für einTiK.Zeigen Sie durch numerische Integration, dass diese Funktionen orthogonal sind.
Literatur
1 Levine, I. (1983). Quantum Chemistry. Boston: Allyn & Bacon.
2 Diem, M. (2015). Modern Vibrational Spectroscopy and Micro-Spectroscopy: Theory, Instrumentation and Biomedical Applications. Chichester: Wiley.
3 Shoemaker, D.P., Garland, C.W. und Nibler, J.W. (1996). Experiments in Physical Chemistry. 6. Aufl. New York: McGraw-Hill.
4 Banin, U. et al. (1999). Identification of atomic-like electronic states in indium arsenide nanocrystal quantum dots. Nature 400 (6744): 542–544.
5 Faist, J. et al. (1994). Quantum cascade laser. Science 264 (5158): 553–556.
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