Energieeigenwerten (in Einheiten von h2/(8mL2)). (b) Quadrat der Wellenfunktionen von (a) (Quelle: [2]).
Mit der Beziehung
ergibt sich Amplitude A wie folgt:
Somit können die normalisierten Wellenfunktionen der stationären Zustände des TiK in endgültiger Form wie folgt geschrieben werden:
(2.38)
Die (zeitunabhängigen) stationären Wellenfunktionen und Energien sind in Abb. 2.2a dargestellt. Obwohl man diese Wellenfunktionen als zeitunabhängig bezeichnet, können sie als stehende Wellen betrachtet werden, bei denen die Amplituden zwischen den Extremen schwingen (siehe Abb. 2.3) und der Bewegung einer angeregten Saite ähneln. Zeitunabhängigkeit bezieht sich dann auf die Tatsache, dass das System für immer in einem dieser stehenden Wellenmuster verbleibt, bis es durch elektromagnetische Strahlung gestört wird.
Abb. 2.3 (a) Die TiK-Wellenfunktionen aus Abb. 2.2 als stehende Wellen. (b) Veranschaulichung der Orthogonalität der ersten beiden Wellenfunktionen (Quelle: [2]).
Die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen an einer bestimmten Position × zu finden, ist in Abb. 2.2b dargestellt. Diese Kurven sind die Quadrate der Wellenfunktionen und zeigen, dass sich bei höheren Niveaus von n die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zu finden, vom Zentrum zur Peripherie des Kastens verschiebt.
Die TiK-Wellenfunktionen bilden einen orthonormalen Vektorraum, d. h.,
In (2.39) ist δmn das sogenannte Kronecker-Symbol mit dem Wert eins, wenn n = m, und null, wenn n ≠ m. Die Normierung der Wellenfunktionen wurde in (2.36) und (2.37) etabliert. Die Orthogonalität kann durch das Integral
veranschaulicht werden. Dieses Integral kann unter Verwendung der Integralbeziehung
errechnet werden. Für zwei benachbarte Wellenfunktionen, beispielsweise m = 1 und n = 2 oder m = 2 und n = 3, enthält der Zähler des ersten Terms in (2.41) die Sinusfunktion von ungeraden Vielfachen von π, während der Zähler des zweiten Terms die Sinusfunktion von geraden Vielfachen von π enthält. Da die Sinusfunktion von ungeraden und geraden Vielfachen von n null ist, ist das Integral in (2.41) immer null. Dieses Argument gilt für jeden Fall, in dem n ≠ m ist.
Dies kann auch grafisch dargestellt werden, wie in Abb. 2.3b für die ersten beiden TiK-Wellenfunktionen für n = 1 (Kurve a) und m = 2 (Kurve b) gezeigt ist. Das Produkt der beiden Funktionen ergibt Kurve c. Die schattierten Bereiche der Kurve c oberhalb und unterhalb der Abszisse repräsentieren das Integral in (2.40) für n = 1 und m = 2 und sind gleich; daher ist die Fläche unter der Produktkurve c null.
Abbildung 2.2 zeigt auch, dass die Wellenfunktionen für die Zustände mit einer Quantenzahl größer als eins Knotenpunkte oder Punkte ohne Amplitude haben. Dies ist aus dem klassischen Wellenverhalten beispielsweise für eine schwingende Saite bekannt. Die quadrierte Amplitude der Wellenfunktion des TiK bedeutet die Wahrscheinlichkeit, das Elektron aufzufinden; deshalb stellen diese Knotenpunkte Bereiche dar, in denen das Elektron nicht gefunden wird.
Beispiel 2.3
1 a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P, ein TiK mit n =1 im mittleren Drittel des Kastens zu finden?
2 Was ist P für den gleichen Bereich für ein klassisches Teilchen?
Lösung:
1 a) Die Wahrscheinlichkeit P, ein quantenmechanisches Teilchen oder eine quantenmechanische Welle zu finden, ist durch das Quadrat der Amplitude der Wellenfunktion gegeben, somit:(B2.3-1) Das Integral über die sin2-Funktion wird durch die Beziehung(B2.3-2) erhalten. Damit ist die Wahrscheinlichkeit(B2.3-3)
2 b) Ein klassisches Teilchen würde mit gleicher Wahrscheinlichkeit irgendwo in dem Kasten gefunden werden; somit ist die Wahrscheinlichkeit, es im mittleren Drittel zu finden, nur 1/3. Bitte beachten Sie, dass bei höheren Werten von n die Wahrscheinlichkeit abnimmt, dass das Elektron im mittleren Drittel gefunden wird.
2.4 Das Teilchen in einem zweidimensionalen Kasten, das ungebundene Teilchen und das Teilchen in einem Kasten mit endlichen Energiebarrieren
Teilchen im zweidimensionalen (2-D)-Kasten
Die im vorherigen Abschnitt abgeleiteten Prinzipien können leicht auf einen zweidimensionalen Fall erweitert werden. Hier ist ein Elektron in einem Kasten mit den Dimensionen Lx in der x-Richtung und Ly- in der y-Richtung eingeschlossen. Die potenzielle Energie ist null innerhalb und unendlich außerhalb des Kastens:
(2.42)
Der Hamilton-Operator für dieses System ist
(2.43)
und die gesamte Wellenfunktion ψx y kann als
(2.44)
geschrieben werden, wobei A wie zuvor eine Amplitudenkonstante (Normierungskonstante) ist. Die Gesamtenergie des Systems beträgt
(2.45)
Für ein quadratisches Kästchen mit Lx = Ly = L vereinfacht sich der Ausdruck für die Energie zu:
(2.46)
