Diese Wellenfunktionen können z. B. für nx = 2 und ny = 1 und nx = 1 und ny = 2 wie in Abb. 2.4 dargestellt werden. Diese Wellenfunktionen repräsentieren eine stehende Welle auf einer quadratischen Trommel. Die Energieeigenwerte für diese beiden Fälle sind gleich:
(2.47)
Wenn zwei oder mehr Energieeigenwerte für unterschiedliche Kombinationen von Quantenzahlen gleich sind, werden diese Energiezustände als entartet bezeichnet. Hier erhält man für nx = 2 und ny = 1 und nx = 1 und ny = 2 die gleichen Energieeigenwerte; folglich sind E21 und E12 entartet. Dies ist ein häufiges Vorkommen in der Quantenmechanik, wie wir später in der Diskussion des Wasserstoffatoms (Kap. 7) sehen werden, wo alle drei 2p-Orbitale, alle fünf 3d-Orbitale und alle sieben 4f-Orbitale entartet sind.
Abb. 2.4 Wellenfunktionen für ein TiK in einem zweidimensionalen Kasten (a) nx = 1 und ny = 2(b) nx = 2 und ny = 1 (Quelle: [2]).
Das ungebundene Teilchen
Als Nächstes wird der Fall eines Systems ohne Einschränkung der Randbedingungen (ein ungebundenes Teilchen) diskutiert. Diese Diskussion beginnt mit demselben Hamilton-Operator, der zuvor verwendet wurde:
Wenn diese Differenzialgleichung ohne die bisher verwendeten Randbedingungen
(2.29)
gelöst wird, stellen die neuen Lösungen eine Teilchenwelle dar, die sich entlang der positiven oder negativen x-Richtung bewegt. Die allgemeinste Lösung der Differenzialgleichung (2.23) ist
wobei b eine Konstante ist.
Die zweite Ableitung von (2.48) ist durch
(2.49)
gegeben, wobei
oder
Gleichung (2.51) wurde durch Einsetzen von
(2.52)
Abb. 2.5 Teilchen im Kasten mit (a) unendlich hohen und (b) endlich hohen Energiebarrieren, V0.
in (2.50) erhalten. Somit kann das ungebundene Teilchen durch eine laufende Welle (im Gegensatz zu einer stehenden Welle) beschrieben werden:
(2.53)
die einen Impuls
(2.54)
in die positive oder negative x-Richtung trägt. k ist dabei der Wellenvektor, der schon vorher definiert wurde (1.6).
Das Teilchen im Kasten mit endlichen Energiebarrieren
Schließlich wird das Teilchen im Kasten mit einer endlichen Energiebarriere V0 qualitativ diskutiert. Dies ist eine Situation, in der das Teilchen außerhalb des Kastens nicht mehr streng verboten ist und zum Konzept des Tunnelns führt, d. h. der Wahrscheinlichkeit, dass das Elektron außerhalb des Kastens gefunden wird. Die Form der Potenzialfunktion ist in Abb. 2.5b dargestellt.
Die potenzielle Energie für diesen Fall wird als
(2.55)
(2.56)
angesetzt. Dabei ist zu beachten, dass die Grenzen des Kastens aus Symmetriegründen von 0 bis L nach —L/2 bis +L/2 verschoben wurden, was in Abschn. 3.2 noch einmal behandelt wird. Die Schrödinger-Gleichung besteht aus zwei Teilen: In dem Kasten, in dem die potenzielle Energie null ist, gilt dieselbe Gleichung wie zuvor:
Außerhalb der Box lautet die Schrödinger-Gleichung
Die Lösungen von (2.57) haben die Form
(2.58)
(2.59)
wobei
(2.60)
Für x > L/2 ist ψ(x) eine exponentielle Abklingfunktion,
