збільшення значущості декади як виразу самої сутності числа, оскільки, походячи від суми перших чотирьох цілих чисел (1 + 2 + 3 + 4 = 10), декада поєднує в собі як властивість музикального звукоряду, так і всієї дійсності.
Репрезентація декади у формі трикутника (tetraktýs) вказує на те, що піфагорійці дотримувалися архаїчного способу конкретного представлення чисел через систему пунктів, подібних тим, що ми все ще бачимо на гральних костях або на кістках доміно: це є ознакою того, що математична якість сприймається з певним рівнем абстрагування, не більшим за інші якості, й у цьому розумінні може бути ідентифікована із самими речами. На цьому підґрунті розвивається комплекс важливих для історії стародавньої математики досліджень. Наприклад, певно саме Гіппас Метапонтський, один із найдавніших піфагорійців, відкрив несумірність між стороною та діагоналлю квадрата (або той факт, що співвідношення між стороною та діагоналлю не може бути виражене у формі дробу або раціонального числа). Це передбачає знання ним так званої теореми Піфагора (яка, насправді, вже була відома вавилонянам, хоча й не була доведена ними теоретично), й таким чином визначає наявність кризи у грецькій математиці, яка до того була зосереджена на раціональних числових зв’язках.
Доктрина, за якою «всі речі є числами», набуває, проте, важливого розвитку в напрямі, що може бути визначений скоріше як онтологічний, у дослідженні, що здійснюється школою протягом усього V ст. до н. е. Зокрема, виникають різноманітні теоретичні моделі, жодна з яких не приписується тому або іншому піфагорійцю. Пречудовий тлумач та історик Арістотель, який уже говорить у загальному вигляді про «італійців» чи «піфагорійців», або так званих піфагорійців, наводить кілька варіантів доктрини про еквівалентність, встановлену піфагорійцями між речами і числами. За Арістотелем, речі імітують числа (положення, в якому піфагорійці випереджають Платона, для якого існує імітаційний зв’язок між матеріальним світом та ідеями); елементи чисел, парних та непарних, що відповідають межам і необмеженості, є елементами речей; дійсність є структурованими парами протилежностей, поєднаних в одній послідовності, що обіймає як математичні поняття, виражені символічно (граничні та необмежені, парні та непарні), так і пари протилежних найбільш очевидних символічних матриць (світло і темрява, гарне і погане).
Арістотель не обходить увагою «відхилення» від піфагорійської концепції, вказуючи на насправді символічні асоціації певних визначених чисел із концепціями різного типу (наприклад, 4 асоціюється з правосуддям, 7 – із kairós, або «влучним моментом»). Він виходить за неявні обмеження подібної постановки питання, як випливає з детального аналізу астрономічної системи Філолая, що була цілком чітко вибудована відповідно до принципу гармонії. Філолай змушує обертатися небесні тіла навколо центрального вогню, який він називає «вогнищем» всесвіту: просуваючись від центру назовні, розташовані Анти-Земля, Земля, Місяць, Сонце, п’ять планет (які тоді ще не були Меркурієм, Венерою, Марсом,
