d'una probabilitat a cadascun dels microestats, el calcul dels valors mitjans de les magnituds basant-se en aquesta distribució de probabilitat, i la identificació final d'aquests valors mitjans amb els valors de les variables termodinàmiques macroscopiques. L'exposició dels col·lectius de Gibbs és l'objectiu dels capítols 2-4 d'aquest llibre.
El naixement de la Mecànica Quàntica va estendre l'estadística clàssica (denominada de Maxwell-Boltzmann) a les estadístiques quàntiques de Fermi- Dirac i Bose-Einstein, resultants d'aplicar els conceptes de simetria/ antisimetria de la funció d'ona als sistemes de bosons i fermions. Problemes que havien eludit una descripció estadística clàssica com el gas d'electrons de conducció en metalls, el comportament del 3He i 4He a baixes temperatures o el gas de fotons, van poder ser descrits. El desenvolupament de la Física Estadística Quàntica s'efectuarà en els capítols 5 i 6 del manual.
Un tractament més complet del desenvolupament històric de la Física Estadística apareix en alguns textos generals [Pathria, Introd.; Gopal, Introd.] i en articles i llibres especialitzats [Brush, vol. I i II; Fernández Pineda i García Velarde, cap. 1].
En l'actualitat tal volta siguen la condensació de Bose-Einstein, els fenòmens cooperatius deguts a la interacció simultània de moltes partícules i les fluctuacions i fenòmens de transport, algunes de les àrees d'investigació més actives. Aquests fenòmens apareixen en problemes de Física (baixes temperatures, transicions de fase, transport en líquids i sòlids, etc.), Química Física (fluids densos, polímers, etc.) i Biofísica (fenòmens cooperatius en biopolí- mers, organització i desenvolupament d'estructures biològiques, etc.). La condensació de Bose-Einstein es presenta en el capítol 6. Els sistemes de partícules interactives i el fenomen de cooperativitat es consideraran en el capítol 7. Finalment, una teoria elemental dels fenòmens de transport serà exposada en el capítol 8 d'aquest volum.
Problemes
A 1. S'atribueix a Huxley la frase següent: «…sis micos, posats a escriure d'una manera no intel·ligent sobre màquines d'escriure durant milions d'anys, arribarien a escriure tots els llibres que hi ha al Museu Britànic…». Demostra, introduint nombres raonables per a les magnituds involucrades, que aquesta afirmació és incorrecta.
B 1. Descriu totes les possibles distribucions de N molècules amb una energia total E = 5 ε, si els estats disponibles tenen energies 0, ε, 2 ε, 3 ε, 4 ε i 5 ε. ¿Quina és la distribució més probable? Pren per a N els valors 50, 103 i 106.
B 2. Calcula el nombre de disposicions g que es poden obtindré col·locant N objectes iguals en n cel·les de manera que: à) puga havern'hi diversos en cada cel·la (N pot ser major que n) i b) només hi haja com a màxim un objecte per cel·la (N és menor que n). Repeteix els càlculs suposant que els objectes són distints.
A 2. a) Calcula el nombre de disposicions que es poden obtindré distribuint 10 partícules distingibles en 3 nivells d'energia, de tal manera que n0 = 4, n1 = 5, n2 = 1 si les degeneracions dels nivells són g0 = 1, g1 = 2 i g2 = 3.
b) ¿Com es modificaria el nombre anterior si tots els nivells foren no degenerats? Nota: Un nivell i té una degeneració gi si hi ha gi estats (que poden acomodar una o més partícules) de la mateixa energia εi.
Sol.- a) 120960, b) 1260.
A 3. En la fabricació d'un instrument electrònic es troba que la probabilitat W(n) que l'instrument presente n defectes al cap de sis mesos és W(0) = 0.1, W(l) = 0.4, W(2) = 0.25, W(3) = 0.15, W(4) = 0.08 i W(5) = 0.02.
a) ¿Quin és el nombre mitjà de defectes de tots els instruments en els primers sis mesos?
b) Si tu compres un d'aquests instruments, ¿quin és el nombre de defectes més probable que tindrà el teu instrument al cap de sis mesos?
c) Si l'instrument té una garantia de sis mesos, ¿quin és el nombre (el de a o el de b) que determina les despeses a realitzar pel fabricant?
Sol.- a) 1.77, b) 1 i c) a.
B 3. En el joc de la ruleta russa (no recomanat) s'introdueix un sol cartutx en el tambor d'un revòlver. Es fa girar el tambor i es prem el gallet tot recolzant el revòlver en el pols.
a) ¿Quina és la probabilitat de sobreviure després de N vegades?
b) ¿Quina és la probabilitat que el tret es produesca precisament l' N-èsima vegada?
c) ¿Quin és el nombre mitjà de jugades que es té oportunitat de prémer el gallet?
A 4. Un borratxo deixa un fanal i comença a caminar fent passos d'igual longitud cap a ambdós costats. ¿Quina és la probabilitat que després de N passos torne al fanal?
Sol.- P = 0 si N és imparell, i
B 4. Dos borratxos parteixen de l'origen amb les mateixes probabilitats en els seus passos, d'igual longitud. Calcula la probabilitat que tornen a trobarse després de N passos.
A 5. Una bateria de fem V es connecta a una resistència R. La bateria és vella, de manera que existeix una probabilitat p que un element tinga el seu valor normal v de fem i (1 - p) que la seua fem siga nul·la per curt circuit intern. Suposant independència estadística, calcula la potència mitjana
Sol.- Considera una distribució binòmia; obtindràs
A 6. Suposa que les errades tipogràfiques són aleatòries. Si un llibre de 600 pàgines té 600 d'aquests errors, calcula la probabilitat
a) que no hi haja errors en una pàgina i
b) que una pàgina continga, almenys, tres errors.
Ajuda: Demostra que aquesta distribució binòmia es pot aproximar per la de Poisson.
Sol.- a) 0.3679 i b) 0.0803 .
A 7. Un sistema de N partícules no interactives d'espín 1/2 i moment magnètic (i s'introdueix en un camp B dirigit en el sentit de l'eix. La probabilitat que el moment estiga orientat paral·lelament a B és p = 0.51 i que l'orientació siga antiparal lela és q = 0.49. Troba la imantació mitjana
Sol.-
B 5. Una molècula de gas recorre iguals distàncies mitjanes λ entre col·lisions amb la mateixa probabilitat en qualsevol direcció. Després d'un total de N desplaçaments, ¿quin és el valor mitjà dels quadrats dels desplaçaments totals
