de volum arbitrari h0 corresponents a parells de valors (x, p). En una descripció clàssica no existeix una grandària mínima de cel·la, de manera que cada estat del sistema es pot representar per un volum arbitràriament petit i, en el límit, per un punt. En una descripció quàntica, però, l'espai fàsic està quan- titzat en cel·les de grandària mínima Figura 16a
Figura 16b
La quantització de l'espai fàsic en cel·les de grandària definida h3N per a un sistema de N partícules en moviment 3D suposa obviar l'arbitrarietat de la descripció clàssica respecte a la grandària de cel·la, i permet obtindré la constant de Planck mitjançant la relació existent entre Ventropia absoluta i el nombre d'estats quàntics accessibles per a un sistema, tal com veurem en capítols posteriors. Històricament, aquesta determinació va contribuir a atorgar credibilitat a la Mecànica Quàntica, i fou realitzada uns pocs anys abans que Sommerfeld presentara les seues famoses regles de quantització [Gopal, cap. 2; Kittel i Kroemer, cap. 5].
5.2 Sistemes de molts graus de llibertat
L'enumeració dels estats accessibles per a un sistema amb molts graus de llibertat (diguem f ~ NA, on NA és el nombre d'Avogadro) mena a resultats a primera vista sorprenents. Considerarem a tall d'exemple el comportament del quocient format pel volum d'una escorça esfèrica de gruix s « R en un espai de/dimensions i el volum d'una hiperesfera de radi R en l'esmentat espai quan l'energia total del sistema canvia lleugerament [McQuarrie, problema 7–10]. El radi R ve donat per l'energia total E del sistema i el gruix s de l'escorça per la variació d'energia δE (vegeu la fig. 17).
Considerem dues hiperesferes en l'espai de f dimensions, una de radi R i una altra de radi R - s (vegeu la fig. 17). Els seus volums vénen donats per les expressions
Figura 17
de manera que el quocient entre el volum de l'escorça situada entre ambdues hiperesferes i el volum de la hiperesfera anterior és
ja que s « R. Aquest quocient és negligible en un espai amb f= 3, però no ho és quan f ~ NA, com és típic d'un sistema macroscopic. Per elaborar més aquest argument, suposem que les N ~ NA partícules del sistema només posseeixen moviments de translació que contribueixen a l'energia total en la forma
on pi és una de les tres components del moment lineal d'una de les NÁ partícules del sistema, de manera que f= 3NA. Els estats del sistema d'energia menor o igual que E es distribueixen, doncs, en el volum d'una hiperesfera de radi
en el radi de la hiperesfera, de manera que el quocient en l'eq. (36) és
L' eq. (39) mostra que un petitíssim augment relatiu en l'energia δE/E menor però de l'ordre de 2/NA provoca un augment important en el volum accessible (vegeu l'eq. 36) i, per tant, en el nombre d'estats accessibles al sistema de N partícules. El creixement espectacular12 del nombre d'estats accessibles per a un sistema amb la seua energia és una característica molt important dels sistemes amb molts graus de llibertat, i determina les propietats macroscopiques dels susdits sistemes, tal com veurem en el tema següent.
6. Descripció microscòpica i descripció macroscòpica. Fluctuacions
Tal com vam assenyalar en la primera secció d'aquest tema, el principal objectiu de la Física Estadística és deduir les propietats macroscopiques dels sistemes físics a partir d'una descripció microscòpica d'aquests. El model microscopic d'un sistema físic es construeix tenint en compte l'estructura de les partícules que el componen i les forces d'interacció entre elles, dades que es dedueixen parcialment dels resultats experimentals disponibles junt amb les hipòtesis necessàries.
L'únic punt de connexió inicial entre la descripció macroscòpica i la microscòpica que necessitarem consisteix en la identificació de l'energia interna termodinàmica amb el total de l'energia que posseeixen les partícules que componen el model estadístic sobre l'escala microscòpica. Amb aquesta identificació, el Primer Principi de la Termodinàmica es tradueix en un principi de conservació de l'energia mecànica, la qual cosa implica que el model microscopic mecànic associat a un sistema macroscopic ha de ser conservatiu.
Entre la descripció macroscòpica d'un sistema i la descripció del seu estat microscopic hi ha diferències molt importants [Callen, cap. 1; Reif (2), cap. 1]. La Termodinàmica admet que un estat macroscopic d'equilibri queda totalment especificat per mitjà dels valors dels paràmetres externs del sistema (o siga, aquelles variables termodinàmiques fixades per agents externs al sistema, com ara el volum) i la temperatura. Un estat microscopic, per contra, requereix de l'ordre de f ~ NA coordenades i moments generalitzats.
Tal com hem comentat al llarg de les seccions 1 i 4, hi ha un gran nombre d'estats microscòpics compatibles amb un estat macroscopic donat.13 En aquest manual, denominarem els estats definits microscòpicament microestats i els definits sobre una escala macroscòpica macroestats. La Física Estadística assigna determinades probabilitats a priori a cadascun dels microestats accessibles al sistema (≡ compatibles amb el macroestat donat), calcula els valors mitjans de les magnituds basant-se en aquesta distribució de probabilitats i identifica aquests valors mitjans amb els paràmetres macroscòpics que defineixen l'estat d'un sistema. Aquesta identificació té caràcter de postulat fonamental, tal com veurem en el següent capítol.
La hipòtesi anterior constitueix una de les bases fonamentals sobre les que s'assenta la Física Estadística, i assigna un caràcter aleatori a les propietats termodinàmiques d'un sistema. Aprofundirem a continuació sobre aquest caràcter aleatori [de la Rubia i Brey, cap. 3]. Des d'un punt de vista termodinàmic, un sistema en equilibri posseeix una energia interna ben determinada i constant en el temps. En construir el conjunt de microestats compatibles amb un macroestat d'aquest tipus, hem d'assegurar-nos que el valor mitjà de l'energia d'aquest conjunt coincideix amb l'energia
