Manual de Física Estadística. Salvador Mafé Matoses

      d'acord amb les eqs. (14) i (17). L'eq. (25) constitueix la denominada distribució de Gauss o gaussiana i coincideix amb la distribució binòmia quan N→ ∞ per a aquells valors en què totes dues són apreciablement distintes de zero. Tanmateix, observem que la distribució de l'eq. (25) està definida (encara que és pràcticament nul·la) per a |n₁| < N i és a més simètrica respecte a , la qual cosa no és el cas de la distribució binòmia si p ≠ q. No obstant l'anterior, el raonament que ha portat a l'eq. (25) és de naturalesa relativament general, per la qual cosa les distribucions gaussianes apareixen sovint en estadística quan es tracta amb nombres grans, i presenten l'avantatge respecte a les binòmies de ser molt més senzilles des del punt de vista pràctic.

      Podem tornar ara al cas de la partícula de moviment 1D tractat en la secció anterior i preguntar-nos per la probabilitat de trobar la partícula en una posició x entre x i x + dx, sent dx «microscòpicament gran» (dx » /) però suficientement petit com perquè es puga aplicar el càlcul diferencial.⁸ El pas de la variable discreta m = n_l – n₂ = 2n₁ – N a la variable contínua x es pot fer per mitjà de la relació (vegeu la fig. 10) w(x)dx = WN(m) dx/2l, ja que δx = 21 en canviar m dues unitats quan n₁ varia en una unitat. De l'eq. (25) reescrita per a m resulta immediatament

      on x = ml, per al valor mitjà i la dispersió, d'acord amb la notació habitual en estadística matemàtica. Es pot provar que la distribució gaussiana de l'eq. (26) (també anomenada distribució normal) té les següents propietats: (i) està normalitzada a la unitat, (ii) compleix que (iii) verifica que . Per comprovar-ho, només cal efectuar el canvi de variable y ≡ x - μ i avaluar les integrals resultants amb ajuda de la taula 4 [de la Rubia i Brey, cap. 1].

      La forma típica d'una distribució de Gauss és la representada en la fig. 11. Es pot demostrar⁸ directament de l'eq. (26) que l'àrea compresa entre les ordenades μ - σ i μ + σ i l'eix d'abscisses és 0.683 [Reif, A.5]. Aquesta àrea arriba a ser de 0.997 per al cas de l'interval [μ - 3σ, μ + 3σ], molt propera ja a l'àrea total corresponent a l'interval entre -∞ i +∞ que és 1 per la condició de normalització. La distribució esdevé per tant més aguda com menor és a. En el límit σ → 0, w(x) tendeix a la funció delta de Dirac [Reif, A. 7; de la Rubia i Brey, cap. 1],

      tal com es mostra en la fig. 12.

      Figura 11

      Figura 12

      Al llarg d'aquesta secció hem restringit el tractament a una funció de distribució amb una sola variable aleatòria. La descripció estadística d'una situació en la qual intervinga més d'una variable requereix només generalitzacions directes de les funcions de distribució de probabilitats corresponents [Reif, cap. 1], tal com veurem durant el curs.

3.4 Distribució de Poisson

      Quan la probabilitat p és petita però N és molt gran de manera que Np ≡ λ és finit, es pot obtindré una nova distribució (denominada distribució de Poisson) com a cas límit de la binòmia. La distribució de Poisson es fa servir per a valors petits de n₁. En efecte, si fem n₁ ≡ n « N i considerem el quocient

      d'on WN(n) = WN(O) λⁿ/n!. Per la condició de normalització, WN(0) = e^-λ, i obtenim així

      que és la funció de distribució de Poisson. És immediat demostrar que i utilitzant mètodes similars als emprats en les eqs. (14) i (16), respectivament, d'on . La distribució de Poisson apareix en molts problemes de Física Estadística: un gas distribuït en un determinat volum [Kittel i Kroemer, cap. 6], processos d'adsorció sobre superfícies [Kittel i Kroemer, A.C], desintegracions radioactives i emissions termoiòniques [Lands- berg, cap. 26], etc. Si considerem una desintegració radioactiva, p. ex., i prenem com a succés elemental l'emissió o no d'una partícula en un instant temporal entre t i t + dt, assignant p = γdt « 1 a l'emissió i q = γdt ~ 1 a la no-emissió, aleshores sobre un total d'intents N = t/dt» 1 distribuïts al llarg d'un temps macroscopic t, la probabilitat d'emissió de n partícules ve donada per la distribució binòmia

      que d'acord amb les eqs. (28)–(29) es pot aproximar per la de Poisson

      per a N » 1 amb λ ≡ Nγdt = γt finit. Altres problemes es poden tractar de manera semblant a l'anterior.

4. Sistemes de N espins

      Moltes de les distribucions de probabilitat que apareixen en Física Estadística són gaussianes de màxims molt pronunciats. Per il·lustrar aquest fet, considerarem un sistema de N espins independents separats espacialment, cadascun dels quals pot trobar-se en un estat ↑ o en un estat ↓ [Rosser, cap. 2; Kittel i Kroemer, cap. 1]. Per simplicitat, suposarem que les probabilitats associades a aquests estats són iguals, p = q = 1/2, si bé el cas asimètric és també força interessant [Reif (2), cap. 1]. La fig. 13 mostra esquemàticament el sistema considerat.

      Figura 13

      Evidentment, el nombre total d'estats microscòpics possibles per al sistema de N espins és gT = 2N, i la probabilitat de trobar n ≤ N dels espins en l'estat ↑ és,

Скачать книгу