amb la mateixa persona, si aquesta roman- guera en condicions d'intoxicació anàlogues. En el primer cas, la pregunta és, ¿quina serà la fracció de borratxos situats en x = ml, després de N passos? I per al segon seria: ¿quantes vegades (fracció del total) acabarà el contumaç individu en la posició x = ml després de N sèries de N passos cadascuna?
La Física no es preocupa habitualment per l'esdevenir d'un borratxo, però el problema del camí aleatori apareix en situacions de gran interès com ara la difusió d'una molècula en un gas o la conformació d'una cadena polimèrica en una dissolució. A més a més, els sistemes amb dos estats de probabilitats p i q són molt habituals en magnetisme i física-química de superfícies, p. ex. A l'últim, el problema del camí aleatori permet una exposició elemental de molts conceptes estadístics, i per tant anem a tractar-ho detalladament a continuació per al cas més asèptic d'una partícula que segueix un moviment 1D.
Pretenem calcular la probabilitat WN(m) de trobar la partícula en la posició x = ml, després d'una seqüència de N desplaçaments elementals (passos) dels quals n1 són cap a la dreta i n2 cap a l'esquerra, de manera que m = n1 - n2 i N = n1 + n2. Aquesta probabilitat és, tenint en compte la hipòtesi d'independència estadística per als passos,
amb n2 = N - n1. Notem que el primer factor dóna compte del fet que qualsevol seqüència de n1 passos a la dreta i n2 a l'esquerra mena a x = (n1 - n2)l, independentment de l'ordre en què aquests es realitzen.5 La funció de probabilitat de l'eq. (6) s'anomena distribució binòmia, i rep el seu nom de la condició de normalització
En funció del desplaçament net m, l'eq. (6) es pot escriure com
sent-hi (N + m) = 2n1 i (N - m) = 2n2 dos enters parells. Per aplicació de l'eq. (6) (o l'eq. 8) al cas N = 20 passos i p = q = 1/2 és immediat obtindré la probabilitat WN(n1) de la fig. 8. La simetria de la distribució entorn del valor mitjà
Figura 8
En general, coneguda una distribució de probabilitat P(ui) d'una variable aleatòria ui que pot prendre qualsevol dels M valors discrets ul, u2, …, uM, el valor mitjà de qualsevol funció f(u) és
on hem fet servir la condició de normalització per a P(ui).
Alguns dels valors mitjans més útils en Física Estadística són el valor mitjà de la variable u,
i els valors mitjans
i la dispersió ( o moment central de segon ordre)
Notem que en aquest cas cada terme de la suma en l'eq. (9) és positiu o nul, ja que
La magnitud ∆*u és una mesura lineal de l'amplitud del recorregut en què la variable u està distribuïda. El quocient
Estem en condicions d'aplicar ara les definicions i resultats de les eqs. (9) –(13) al cas particular de la distribució binòmia de l'eq. (6). A partir de l'eq. (10), resulta
prenent p i q com a dues variables independents a l'efecte de la derivació, i substituint (p + q) = 1 una vegada efectuada aquesta. Conegut
La dispersió es pot ara avaluar de la forma
on hem fet ús de
amb
