nimmt ab und die Temperatur fällt.
Die Änderung der Inneren Energie eines idealen Gases bei einer Temperaturänderung von TA nach TE und gleichzeitiger Volumenänderung von VA nach VE können wir als zweistufigen Prozess betrachten (Abb. 2-17). Im ersten Schritt ändert sich bei konstanter Temperatur nur das Volumen. Die Innere Energie, die im Fall eines idealen Gases aber nicht von dem Volumen abhängt, das seinen Molekülen zur Verfügung steht, ändert sich nur im zweiten Schritt, der Temperaturänderung bei konstantem Volumen. Unter der Voraussetzung, dass die Wärmekapazität nicht von der Temperatur abhängt, ist diese Änderung der Inneren Energie gegeben durch
Abb. 2.17 Eine Zustandsänderung, bei der sich sowohl die Temperatur als auch das Volumen des Systems ändert, können wir gedanklich in zwei Schritte zerlegen. Der erste Schritt besteht in einer Expansion bei konstanter Temperatur; handelt es sich um ein ideales Gas, so ist die Innere Energie bei diesem Vorgang konstant. Im zweiten Schritt fällt die Temperatur des Systems bei konstantem Volumen. Die Gesamtänderung der Inneren Energie ergibt sich als Summe der Änderungen in beiden Schritten.
Die Expansion verläuft adiabatisch, also ist q = 0; wegen ΔU = q + w folgt ΔU = wad, wobei der Index „ad“ den adiabatischen Prozess kennzeichnet. Indem wir die beiden Ausdrücke für ΔU gleichsetzen, erhalten wir
Mit anderen Worten: Die bei der adiabatischen Expansion eines idealen Gases verrichtete Arbeit ist proportional zur Temperaturdifferenz zwischen Ausgangs- und Endzustand des Systems. Exakt dieses Ergebnis erwarten wir auch aus mikroskopischer Sicht, denn die mittlere kinetische Energie der Moleküle ist proportional zu T, weshalb eine Änderung der Inneren Energie, die allein durch eine Temperaturänderung verursacht wird, ebenfalls proportional zu ΔT sein sollte. In Zusatzinformation 2-1 werden wir zeigen, dass sich die Anfangs- und Endtemperatur eines idealen Gases bei reversibler adiabatischer Expansion (reversibler Expansion in einem wärmeisolierten Behälter) aus
mit c = CV,m/R berechnen lassen; eine äquivalente Formulierung ist
(2.28b)° rev
Dieses Ergebnis wird häufig in der Form VTc = Konstante zusammengefasst.
Ein praktisches Beispiel
0.020 mol Argongas mit einer Anfangstemperatur von 25 °C dehnen sich reversibel und adiabatisch von einem Volumen von 0.50 L auf ein Volumen von 1.0 L aus. Die Wärmekapazität von Argon bei konstantem Volumen ist CV = 12.48 J K–1 mol–1; daraus folgt c = 1.501. Einsetzen in in Gl. (2-28a) liefert
ΔT ist also gleich –110 K. Aus Gl. (2-27) erhalten wir dann
Die verrichtete Arbeit hängt von der Stoffmenge des Gases ab, die Temperaturänderung hingegen nicht!
Übung 2-5
Ammoniak wird reversibel und adiabatisch von 0.50 L auf 2.00 L ausgedehnt. Berechnen Sie Endtemperatur, Volumenarbeit und Änderung der Inneren Energie. Alle anderen Anfangs- und Endbedingungen sollen dieselben wie in unserem Beispiel sein.
[195 K, – 56 J, – 56 J]
Wie wir ebenfalls in der Zusatzinformation 2-1 nachweisen werden, lautet der Zusammenhang zwischen Anfangs- und Enddruck eines idealen Gases bei reversibler adiabatischer Expansion von einem Volumen VA auf ein Volumen VE
mit γ = Cp,m/ CV,m. Dieses Ergebnis fasst man häufig in der Form pVγ = Konstante zusammen. Für ein einatomiges ideales Gas ist
Abb. 2.18 Eine Adiabate beschreibt die Abhängigkeit des Drucks vom Volumen bei der adiabatischen Volumenänderung eines Gases. Entlang einer Adiabate fällt der Druck steiler ab als etlang einer Isotherme, da bei der Adiabate die Temperatur abnimmt. Interaktive Übung: Untersuchen Sie den Einfluss des Parameters γ auf die Abhängigkeit des Drucks vom Volumen. Prägt sich die Abhängigkeit bei steigendem Volumen mehr oder weniger aus?
Ein praktisches Beispiel
Argongas
