Trigonometría y geometría analítica. Gonzalo Masjuán

      Problema 1.6.35 Un tren parte de una estación desviándose 40^◦ con la horizontal, dicha estación se encuentra a 1550 m. de la ribera de un río que corre paralelamente a la horizontal anterior. Un observador colocado en la ribera visualiza la estación con un ángulo de 25^◦ respecto a la ribera del río y al cabo de 5 minutos observa que la trayectoria del tren subtiende un ángulo de 50^◦. ¿Cuál es la rapidez del tren en kilómetros por hora?

       Solución:

      Considerando la figura 1.9, vemos que el triángulo EOT es isósceles de vértice O, por lo tanto, se tiene que :

      Por lo tanto, concluimos que:

      y con ello:

      es decir:

      o sea:

      Fig. 1.9

      luego ET = 3100 m., es decir ET = 3, 1 kilómetros y como la rapidez v es el cuociente entre ET y t = 5 minutos , o sea t = 5/60 = 1/12 horas, resulta:

      Problema 1.6.36 A, B y C representan las puntas de postes colocados a intervalos iguales al lado de una carretera, x e y son las tangentes de los ángulos que subtienden AB y BC desde un punto P y t es la tangente del ángulo que forma lacarretera con PB. Demostrar que:

       Solución:

      Tal como se indica en la figura 1.10, sean:

      Fig. 1.10

      Además, colocamos AB = BC = a, DB = u y DP = v, también es claro que ≮ DBP = γ, con ello se deduce que:

      por otro lado, en el triángulo rectángulo CPD se tiene:

      Observando ahora el triángulo rectángulo ADP, conseguimos:

      De (1) y (2) se llega a:

      que es el resultado esperado.

      Problema 1.6.37 Un avión vuela con rapidez de 247,62 [km/h] en aire con calma y con rumbo N 59^◦ O, comienza a soplar viento con rapidez de 43 [km/h] en dirección S 21^◦ O, el avión pasa a desplazarse en el rumbo N 69^◦ O. Determinar la nueva rapidez del avión.

       Solución:

      Considerando la figura 1.11, donde es el vector velocidad del viento es el vector velocidad del avión con viento en calma, luego ≮ SBC = α = 21^◦ y ≮ C′BA = β = 59^◦.

      Tenemos, entonces que el nuevo rumbo del avión lo da el vector resultante:

      con ello:

      Se deduce entonces que

      Fig. 1.11

      luego, el triángulo DAC′ es rectángulo en A, con lo que:

      por lo tanto, la nueva rapidez del avión es:

      Problema 1.6.38 Desde la cima de una colina una persona halla que los ángulos de depresión de tres piedras consecutivas e indicadoras de los kilómetros de un camino recto a nivel son α, β y γ. Demostrar que la altura h de la colina es:

Скачать книгу