– α).
Так как случайные величины α и β – независимые, то область их значений можно найти так. Обозначая реализацию α через x, а реализацию β – через y, получим ситуацию, изображенную на рис. 1.32 в виде области G1. Аналогично рис. 1.32–1.36:
G2 : A ∩ K = (xн ≤ α ≤
G3 : B ∩ D = (
G4 : B ∩ K = (
G5 : C ∩ D = (
G6 : C ∩ K = (
Рис. 1.31 Рис. 1.32
Рис. 1.33 Рис. 1.34
Рис. 1.35 Рис. 1.36
Используя (1.3) и независимость α и β, получим
P2 = P[Aα ∩ B'γ] = P(A ∩ D) + P(A ∩ K) + P(B ∩ D) +
+ P(B ∩ K) + P(C ∩ D) + P(C ∩ K) = Р12 + Р22,
где
P12 = P(A ∩ D) + P(B ∩ D) + P(C ∩ D) = P(G1) + P(G3) + P(G5);
Р22 = P(A ∩ K) + P(B ∩ K) + P(C ∩ K) = P(G2) + P(G4) + P(G);
φα(x) – плотность вероятностей случайной величины α, φβ(y) – плотность вероятностей случайной величины β;
Таким образом, Р2 есть сумма двух вероятностей, одна из которых обусловлена событиями D, вторая – событиями K. Отметим, что полученное выражение справедливо для двустороннего ограничения индикатора х, подлежащего контролю и ограничению, когда измеренная величина хизм в силу погрешностей измерения δх их значения удовлетворяет D или K.
Окончательно,
Из теории вероятностей известно, что
где Fβ(x) – функция распределения случайной величины β; Rβ(x) – дополнительная функция распределения случайной величины β. Тогда формулу (1.4) можно переписать в следующем виде:
Перейдем к вычислению вероятности P3:
P3 = P[Aγ ∩ Bα] + P(Cα ∩ Aγ) =
= P[(
= P[{(
= P[{(
