Energieniveaus zu verteilen. Wenn wir die Eigenschaften eines Systems messen, ermitteln wir eigentlich den Mittelwert über die verschiedenen Mikrozustände, die das System unter den Versuchsbedingungen einnehmen kann. Das Konzept der Mikrozustände stellt die unscharf definierten qualitativen Konzepte der „Unordnung“ und der „Verteilung von Stoffen und Energie“, anhand derer die Entropie meist eingeführt wird, auf eine qualitative Grundlage: Eine „ungeordnete“ Verteilung von Materie und Energie entspricht einer größeren Anzahl bei einer bestimmten Gesamtenergie möglicher Mikrozustände.
Gleichung (3-5) ist unter der Bezeichnung Boltzmanngleichung bekannt; die so berechnete Entropie wird oft als statistische Entropie bezeichnet. Wir sehen sofort, dass für W = 1 (wenn nur ein Mikrozustand oder eine Möglichkeit, die gegebene Gesamtenergie zu erreichen, denkbar ist; wenn sich also alle Moleküle exakt im gleichen Zustand befinden) wegen ln 1 = 0 sofort S = 0 gilt. Wenn das System in mehreren Mikrozuständen existieren kann, ist hingegen stets W > 1und S > 0. Wenn für die Moleküle in einer Probe mehr Energieniveaus erreichbar sind, gibt es automatisch auch mehr Mikrozustände zu einer bestimmten Gesamtenergie, folglich ist W und somit auch die Entropie größer als wenn nur wenige Energieniveaus erreichbar sind. Die statistische Sicht der Entropie, wie sie in der Boltzmanngleichung zusammengefasst ist, steht deshalb mit unserer qualitativen Beziehung zwischen der Entropie und der Energieverteilung im Einklang. Für das zuvor diskutierte Gas in einem Behälter rücken die Energieniveaus dichter zusammen, wenn das Volumen des Behälters größer wird (Abb. 3-4; diese Konsequenz aus der Quantentheorie werden wir in Kapitel 8 näher untersuchen). Dadurch werden mehr Mikrozustände möglich, W nimmt zu und somit auch die Energie, genau wie wir es auch aus der thermodynamischen Definition der Entropie abgeleitet hatten.
Abb. 3-4 Wenn die Wände eines Behälters sich voneinander entfernen, rücken die Energieniveaus dichter zusammen, sodass mehr Niveaus für die Moleküle zugänglich werden. Im Ergebnis nimmt die Zustandssumme und folglich auch die Entropie zu.
Boltzmanns mikroskopische Interpretation führt auch zur thermodynamischen Definition der Entropie gemäß Gl. [3-1]. Um dies zu verstehen, führen wir uns vor Augen, dass den Molekülen in einem System mit hoher Temperatur bereits viele Energieniveaus zur Verfügung stehen, weshalb eine geringe zusätzliche Zufuhr von Energie in Form von Wärme nur eine geringfügige Zunahme der Zahl von erreichbaren Niveaus nach sich zieht. Deshalb nimmt die Anzahl der Mikrozustände nur unwesentlich zu und die Entropie wächst kaum. In einem System mit niedriger Temperatur sind dagegen nur wenige (bei T = 0 sogar lediglich ein einziges) Energieniveaus besetzt. Die relative Zunahme der Zahl von erreichbaren Niveaus und der möglichen Mikrozustände bei Zufuhr der gleichen Wärmemenge wie oben fällt dann viel deutlicher aus. Aus diesem Grund nimmt die Entropie bei Erwärmung eines kalten Körpers stärker zu als bei Erwärmung eines warmen Körpers. Man kann also vermuten, dass die Entropieänderung umgekehrt proportional zu der Temperatur ist, bei der der Wärmeaustausch stattfindet, genau wie von Gl. [3-1] vorhergesagt.
Die Entropie als Zustandsfunktion
Die Entropie eines Systems ist eine Zustandsfunktion. Um diese Behauptung zu beweisen, müssen wir zeigen, dass das Integral über dS wegunabhängig ist. Dazu reicht es aus, wenn wir nachweisen können, dass das Integral in Gl. [3-1] auf einem willkürlich gewählten, geschlossenen Weg gleich null ist; dann stimmt der Wert der Entropie im Anfangs- und Endzustand offensichtlich überein (Abb. 3-5), ungeachtet des Weges zwischen beiden Zuständen. Kurz gesagt, wir müssen beweisen, dass
Abb. 3-5 In einem thermodynamischen Kreisprozess ist die Gesamtänderung einer Zustandsfunktion (bei einem Durchlauf von einem Anfangs- zu einem Endzustand und zurück zum Anfangszustand) gleich null.
ist. Das Symbol ∮ steht dabei für ein Integral entlang eines geschlossenen Weges. Unseren Beweis gliedern wir in drei Schritte. Wir zeigen, dass
1 Gl. (3-6) für einen speziellen geschlossenen Weg (einen „Carnot-Kreisprozess“ mit einem idealen Gas zutrifft),
2 dies unabhängig vom gewählten Arbeitsmedium gilt und
3 dies für beliebige Wege gilt.
Ein Carnot-Prozess (Abb. 3-6), benannt nach dem französischen Ingenieur Sadi Carnot, besteht aus vier reversiblen Teilschritten:
1 Reversible isotherme Expansion von A nach B bei Tw; die Entropieänderung des Systems ist dabei qw/ Tw,wenn qw die vom System aus dem Wärmebad aufgenommene Wärmemenge ist.
2 Reversible adiabatische Expansion von B nach C; das System gibt dabei keine Wärme an die Umgebung ab, die Entropieänderung ist folglich null. Während dieser Expansion fällt die Temperatur von Tw auf Tk,dieTemperaturder Wärmesenke.
3 Reversible isotherme Kompression von C nach D bei Tk; dabei wird die Wärmemenge qk an die Wärmesenke abgegeben, die Entropieänderung ist qk/ Tk, wobei qk negativ ist.
4 Reversible adiabatische Kompression; das System nimmt keine Wärme aus der Umgebung auf, die Entropieänderung ist folglich wieder null. Die Temperatur steigt von Tw auf Tk.
Abb. 3-6 Das Prinzip des Carnot-Kreisprozesses. Schritt 1 ist eine isotherme reversible Expansion bei der Temperatur Tw; Schritt 2 ist eine reversible adiabatische Expansion, dabei sinkt die Temperatur von Tw nach Tk. In Schritt 3 findet eine isotherme reversible Kompression bei Tk statt, und in Schritt 4 wird das System durch eine adiabatische reversible Kompression in seinen Anfangszustand zurückgeführt.
Die Gesamtentropieänderung im Kreisprozess ist
In Begründung 3-1 wird gezeigt, dass für ein ideales Gas
ist. Wenn wir die untere Gleichung in die obere einsetzen, ergibt sich aufder rechten Seite null, wie wir beweisen wollten.
Begründung
